Matrizen addieren

In diesem Kapitel schauen wir uns an, auf welche Weise man Matrizen addieren kann.

In folgendem Mathe Video (3:39 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt,
wie man am einfachsten Matrizen addiert und subtrahiert.

Voraussetzung für die Addition von Matrizen

Matrizen lassen sich nur dann addieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Beispiel 1

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix};\)

Eine Addition von \(A\) und \(B\) ist möglich,
da die beiden Matrizen in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Beispiel 2

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix};\)

Eine Addition von \(A\) und \(B\) ist nicht möglich,
da die beiden Matrizen nicht in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Wie addiert man Matrizen?

Matrizen werden addiert, indem man die sich entsprechenden Einträge der Ausgangsmatrizen addiert.

Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{orange}a_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{cyan}a_{22}} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & {\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix};\)

\(A + B = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}}+{\color{red}b_{11}} & {\color{orange}a_{12}}+{\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}}+{\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}a_{22}}+{\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix}\)

Konkretes Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix};\)

\(A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

Bezeichnung der Ergebnismatrix

Das Ergebnis der Addition (also die Matrix \(C = A + B\)) bezeichnet man als Summenmatrix.
[Alternative Bezeichnungen: Matrixsumme, Matrizensumme]

Dimension der Ergebnismatrix

Die Summenmatrix \(C\) besitzt genauso viele Zeilen und Spalten wie die Matrizen \(A\) und \(B\).

Rechenregeln

Kommutativgesetz \(A + B = B + A\)
Assoziativgesetz \((A + B) + C = A + (B + C)\)

Rechnen mit Matrizen

  Voraussetzung
Matrizen addieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen subtrahieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen multiplizieren Anzahl der Spalten von \(A\) entspricht Anzahl der Zeilen von \(B\)

Hinweis: Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (> Inverse Matrix) möglich: \(A / B = A \cdot B^{-1}\).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!