Rangsatz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Rangsatz (Dimensionssatz) besagt.
Erforderliches Vorwissen
- Bild einer Matrix
- Rang einer Matrix
$\text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A))$ - Kern einer Matrix
- Defekt einer Matrix
$\text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A))$
Formulierung 1
$$ \text{dim}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{img}(A)) $$
Die Dimension (Spaltenzahl) der Matrix ist gleich der Summe der Dimension des Kerns und der Dimension des Bildes der Matrix.
Formulierung 2
Da der Defekt der Dimension des Kerns entspricht und der Rang gleichbedeutend mit der Dimensions des Bildes ist, kann man den Rangsatz auch umformulieren zu:
$$ \text{dim}(A) = \text{def}(A) + \text{rang}(A) $$
Die Dimension (Spaltenzahl) der Matrix ist gleich der Summe des Defekts und des Ranges der Matrix.
Anwendungen
Der Rangsatz wird z. B. bei der Berechnung des Defekts einer Matrix verwendet. Dazu lösen wir die Gleichung $\text{dim}(A) = \text{def}(A) + \text{rang}(A)$ nach $\text{def}(A)$ auf und erhalten
$$ \text{def}(A) = \text{dim}(A) - \text{rang}(A) $$
Der Defekt einer Matrix ist gleich der Dimension (Spaltenzahl) der Matrix abzüglich ihres Ranges.
