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Nenner rational machen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Nenner rational machen bedeutet.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Gegeben ist ein Bruch, der im Nenner eine irrationale Zahl (hier: eine Wurzel) enthält.

Beispiel 1 

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Ziel ist es, die Wurzel im Nenner des Bruches zu eliminieren.

Beispiel 2 

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Statt einer irrationalen Zahl steht nun eine rationale Zahl im Nenner. Aus diesem Grund bezeichnet man diese Umformung auch als Nenner rational machen.

Warum möchte man den Nenner rational machen?

  • Die numerische Berechnung des Bruchs wird vereinfacht wird.
  • Ein Weiterrechnen ohne Rationalisierung des Nenners ist oft nicht möglich.

Beispiele 

Die Vorgehensweise unterscheidet sich danach, wie der Nenner aussieht:

  1. Quadratwurzel im Nenner (leicht)
  2. Höhere Wurzel im Nenner (mittel)
  3. Summe/Differenz im Nenner (schwer)

Alle Verfahren basieren auf dem Erweitern von Brüchen.

Quadratwurzel 

$$ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{b})^2$}}} = \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{$b$}}} $$

Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht.

Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (Potenzen multiplizieren): $$ \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^1 \cdot (\sqrt{b})^1 = (\sqrt{b})^{1+1} = (\sqrt{b})^{2} $$

Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz): $$ {\colorbox{yellow}{$(\sqrt{b})^2$}} = (\sqrt[2]{b})^2 = \sqrt[2]{b^2} = b^\frac{2}{2} = b^1 = {\colorbox{yellow}{$b$}} $$

Beispiel 3 

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{2})^2$}}} = \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} $$

Beispiel 4 

$$ \frac{3}{4\sqrt{5}} = \frac{3}{4\sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{5})^2$}}} = \frac{3\sqrt{5}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{$5$}}} = \frac{3\sqrt{5}}{20} $$

Höhere Wurzel 

$$ \frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}} = \frac{a \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}}{\sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}} = \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[n]{b})^{n}$}}} = \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{$b$}}} $$

Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht…und zwar (n-1) mal.

Das Erweitern des Bruchs ausführlich dargestellt: $$ \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot \underbrace{{\color{red}\frac{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}}}_{\text{(n-1) mal}} =\frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}} $$

Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (Potenzen multiplizieren): $$ \sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^1 \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^{1+n-1} = (\sqrt[n]{b})^{n} $$

Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz): $$ {\colorbox{yellow}{$(\sqrt[n]{b})^{n}$}} = \sqrt[n]{b^n} = b^\frac{n}{n} = b^1 = {\colorbox{yellow}{$b$}} $$

Beispiel 5 

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}}{\sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}} = \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[3]{2})^{3}$}}} = \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} $$

Beispiel 6 

$$ \frac{7}{4\sqrt[5]{6}} = \frac{7}{4\sqrt[5]{6}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}} = \frac{7 \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}}{4\sqrt[5]{6} \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[5]{6})^{5}$}}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{$6$}}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{24} $$

Summe 

Erforderliches Vorwissen

$$ \begin{align*} \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} \end{align*} $$

Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht, wobei das positive Vorzeichen durch ein negatives ersetzt wird.

Beispiel 7 

$$ \begin{align*} \frac{1}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot {\color{red}\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} \\[5px] &= \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{{\color{maroon}(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{{\color{maroon}(2)^2 - (\sqrt{3})^2}} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \\[5px] &= 2 - \sqrt{3} \end{align*} $$

Beispiel 8 

$$ \begin{align*} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5}\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{2}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 2}}{7 - 2} \\[5px] &= \frac{\sqrt{35} - \sqrt{10}}{5} \end{align*} $$

Differenz 

Erforderliches Vorwissen

$$ \begin{align*} \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \end{align*} $$

Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht, wobei das negative Vorzeichen durch ein positives ersetzt wird.

Beispiel 9 

$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2} - 3} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 3} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2} +3}{\sqrt{2} +3}} \\[5px] &= \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 3)}{{\color{maroon}(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{{\color{maroon}(\sqrt{2})^2 - (3)^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{2 - 9} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{-7} \\[5px] &= -\frac{\sqrt{2} + 3}{7} \end{align*} $$

Beispiel 10 

$$ \begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{3}\sqrt{5}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3 \cdot 5}}{7 - 5} \\[5px] &= \frac{\sqrt{21} + \sqrt{15}}{2} \end{align*} $$

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