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Nenner rational machen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was „Nenner rational machen“ bedeutet.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Problemstellung

Gegeben ist ein Bruch, der im Nenner eine irrationale Zahl (hier: eine Wurzel) enthält.

Beispiel

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Ziel ist es, die Wurzel im Nenner des Bruches zu eliminieren.

Beispiel (Fortsetzung)

\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Statt einer irrationalen Zahl steht nun eine rationale Zahl im Nenner.
Aus diesem Grund bezeichnet man diese Umformung auch als „Nenner rational machen“.

Warum möchte man den Nenner rational machen?

Mathematiker versuchen einen Bruch möglichst ohne Wurzel im Nenner darzustellen, da

  • die numerische Berechnung der Brüche vereinfacht wird
  • ein Weiterrechnen ohne Rationalisierung des Nenners oft nicht möglich ist

Vorgehensweise

Die Vorgehensweise unterscheidet sich danach, wie der Nenner aussieht:

  1. Quadratwurzel im Nenner (leicht)
  2. Höhere Wurzel im Nenner (mittel)
  3. Summe/Differenz im Nenner (schwer)

Notwendiges Vorwissen: Brüche erweitern

1. Nenner rational machen: Quadratwurzel

\[\frac{a}{\sqrt{b}}
= \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}}
= \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}
= \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{\((\sqrt{b})^2\)}}}
= \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{\(b\)}}}\]

Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht.

Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (> Potenzen multiplizieren):
\(\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^1 \cdot (\sqrt{b})^1 = (\sqrt{b})^{1+1} = (\sqrt{b})^{2}\)

Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (> Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz):
\({\colorbox{yellow}{\((\sqrt{b})^2\)}} = (\sqrt[2]{b})^2 = \sqrt[2]{b^2} = b^\frac{2}{2} = b^1 = {\colorbox{yellow}{\(b\)}}\)

Beispiel 1

\[\frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}
= \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{\((\sqrt{2})^2\)}}}
= \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}\]

Beispiel 2

\[\frac{3}{4\sqrt{5}}
= \frac{3}{4\sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}
= \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}
= \frac{3\sqrt{5}}{4{\colorbox{yellow}{\((\sqrt{5})^2\)}}}
= \frac{3\sqrt{5}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}}}
= \frac{3\sqrt{5}}{20}\]

2. Nenner rational machen: Höhere Wurzel

\[\frac{a}{\sqrt[n]{b}}
= \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}}
= \frac{a \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}}{\sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}}
= \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{\((\sqrt[n]{b})^{n}\)}}}
= \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{\(b\)}}}\]

Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht...und zwar (n-1) mal.

Das Erweitern des Bruchs ausführlich dargestellt:
\[\frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot \underbrace{{\color{red}\frac{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}}}_{\text{(n-1) mal}}
=\frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}}\]

Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (> Potenzen multiplizieren):
\(\sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^1 \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^{1+n-1} = (\sqrt[n]{b})^{n}\)

Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (> Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz):
\({\colorbox{yellow}{\((\sqrt[n]{b})^{n}\)}} = \sqrt[n]{b^n} = b^\frac{n}{n} = b^1 = {\colorbox{yellow}{\(b\)}}\)

Beispiel 1

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}}
= \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}}
= \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}}{\sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}}
= \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{\((\sqrt[3]{2})^{3}\)}}}
= \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{\(2\)}}}\]

Beispiel 2

\[\frac{7}{4\sqrt[5]{6}}
= \frac{7}{4\sqrt[5]{6}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}}
= \frac{7 \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}}{4\sqrt[5]{6} \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}}
= \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4{\colorbox{yellow}{\((\sqrt[5]{6})^{5}\)}}}
= \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{\(6\)}}}
= \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{24}\]

3.1 Nenner rational machen: Summe

Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel

\[\begin{align*}
\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}
\end{align*}\]

Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht,
wobei das positive Vorzeichen durch ein negatives ersetzt wird.

Beispiel 1

\[\begin{align*}
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot {\color{red}\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}}\\[5pt]
&= \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{{\color{maroon}(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{2 - \sqrt{3}}{{\color{maroon}(2)^2 - (\sqrt{3})^2}}\\[5pt]
&= \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3}\\[5pt]
&= \frac{2 - \sqrt{3}}{1}\\[5pt]
&= 2 - \sqrt{3}
\end{align*}\]

Beispiel 2

\[\begin{align*}
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{5}\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{2}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 2}}{7 - 2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{35} - \sqrt{10}}{5}
\end{align*}\]

3.2 Nenner rational machen: Differenz

Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel

\[\begin{align*}
\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}}\\[5pt]
&= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}
\end{align*}\]
Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht,
wobei das negative Vorzeichen durch ein positives ersetzt wird.

Beispiel 1

\[\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{2} - 3} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 3} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2} +3}{\sqrt{2} +3}}\\[5pt]
&= \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 3)}{{\color{maroon}(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{2} + 3}{{\color{maroon}(\sqrt{2})^2 - (3)^2}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{2} + 3}{2 - 9}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{2} + 3}{-7}\\[5pt]
&= -\frac{\sqrt{2} + 3}{7}
\end{align*}\]

Beispiel 2

\[\begin{align*}
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{3}\sqrt{5}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3 \cdot 5}}{7 - 5}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{21} + \sqrt{15}}{2}
\end{align*}\]

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Leseprobe: Wurzelrechnung - Erklärungen, Aufgaben, Lösungen

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!