Bruchgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter Bruchgleichungen versteht.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Bruchrechnung
Definition
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm, in dem die Variable $x$ im Nenner vorkommt.
Beispiele
Wenn die Variable $x$ nur im Zähler des Bruchs vorkommt, handelt es sich nicht um eine Bruchgleichung.
Die Gleichung
$$ \frac{4x}{5} = 0 $$
lässt sich umschreiben zu
$$ \frac{4}{5}x = 0 $$
Dabei handelt es sich um eine lineare Gleichung.
Bruchgleichungen lösen
Definitionsmenge bestimmen
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Prüfen, ob der $\boldsymbol{x}$-Wert in der Definitionsmenge enthalten ist
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
$x$-Werte, für die der Nenner eines Bruchs gleich Null ist, müssen wir aus der Definitionsmenge ausschließen. Grund dafür ist, dass eine Division durch Null nicht erlaubt ist.
zu 2)
Dabei helfen uns Äquivalenzumformungen.
zu 4)
Keine Lösung
Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung sei $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. Wenn wir den $x$-Wert $x = 2$ berechnen, dann ist die Lösungsmenge leer ($\mathbb{L} = \{\,\}$), da dieser $x$-Wert nicht zur Definitionsmenge gehört.
Eine eindeutige Lösung
Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung sei $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. Wenn wir den $x$-Wert $x = 3$ berechnen, dann ist die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{3\}$.
Unendlich viele Lösungen
Wenn wir beim Rechnen an einen Punkt kommen, wo auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Term steht, dann ist die Gleichung für alle $x$ der Definitionsmenge erfüllt: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$.
Löse die Bruchgleichung
$$ \frac{1}{2x} = 0{,}5 $$
Definitionsmenge bestimmen
Wann wird der Nenner des Bruchs gleich Null?
$$ 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 $$
Für $x = 0$ wird der Nenner gleich Null.
Daraus folgt:
$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $$
Die Definitionsmenge entspricht der Menge der reellen Zahlen ohne der Null.
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Bruch beseitigen durch Multiplikation mit dem Nenner
$$ \frac{1}{2x} = 0{,}5 \qquad |\, \cdot 2x $$
$$ \frac{1}{2x} \cdot 2x = 0{,}5 \cdot 2x $$
Kürzen
$$ \frac{1}{\cancel{2x}} \cdot \cancel{2x} = 0{,}5 \cdot 2x $$
$$ 1 = 0{,}5 \cdot 2x $$
Lineare Gleichung lösen
$$ 1 = 0{,}5 \cdot 2x \qquad |\, :0{,}5 $$
$$ \frac{1}{0{,}5} = \frac{0{,}5 \cdot 2x}{0{,}5} $$
$$ 2 = \frac{\cancel{0{,}5} \cdot 2x}{\cancel{0{,}5}} $$
$$ 2 = 2x \qquad |\, :2 $$
$\Rightarrow x = 1$
Prüfen, ob der $\boldsymbol{x}$-Wert in der Definitionsmenge enthalten ist
Da $x = 1$ in der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ liegt, haben wir eine gültige Lösung berechnet.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1\} $$
Löse die Bruchgleichung
$$ \frac{1}{x} = \frac{2}{x+1} $$
Definitionsmenge bestimmen
1. Nenner
$$ x = 0 $$
2. Nenner
$$ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 $$
Definitionsmenge
$$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0\} $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Brüche auf eine Seite bringen
$$ \frac{1}{{\colorbox{yellow}{$x$}}} - \frac{2}{{\colorbox{orange}{$x+1$}}} = 0 $$
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Dazu multiplizieren wir den Zähler und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs bzw. den Zähler und den Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.
$$ \frac{1}{{\colorbox{yellow}{$x$}}} \cdot \frac{{\colorbox{orange}{$x+1$}}}{{\colorbox{orange}{$x+1$}}} - \frac{2}{{\colorbox{orange}{$x+1$}}} \cdot \frac{{\colorbox{yellow}{$x$}}}{{\colorbox{yellow}{$x$}}} = 0 $$
$$ \frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)}= 0 $$
$$ \frac{(x+1) - 2x}{x(x+1)} = 0 $$
Wenn du diesen Schritt nicht verstanden hast, lies dir das Kapitel Brüche gleichnamig machen durch. Dort wird ausführlich erklärt, wie man Brüche auf einen Nenner bringt.
Weiter geht’s…
$$ \frac{-x + 1}{x(x+1)} = 0 $$
Mit dem Hauptnenner multiplizieren, um den Bruch zu beseitigen
$$ \frac{-x + 1}{x(x+1)} \cdot x(x+1) = 0 \cdot x(x+1) $$
$$ \frac{-x + 1}{\cancel{x(x+1)}} \cdot \cancel{x(x+1)} = 0 $$
$$ -x + 1 = 0 $$
Nach $x$ auflösen
$$ -x + 1 = 0 \qquad |+x $$
$x = 1$
Prüfen, ob der $\boldsymbol{x}$-Wert in der Definitionsmenge enthalten ist
Da $x = 1$ in der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ liegt, haben wir eine gültige Lösung berechnet.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1\} $$
In manchen Fällen können wir im 2. Schritt darauf verzichten, die Brüche gleichnamig zu machen.
Wenn die Zähler der Brüche nur aus Zahlen bestehen, kann eine Kehrwertbildung sinnvoll sein.
$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$1$}}}{{\colorbox{orange}{$x$}}} = \frac{{\colorbox{yellow}{$2$}}}{{\colorbox{orange}{$x+1$}}} $$
Kehrwerte bilden
$$ \frac{{\colorbox{orange}{$x$}}}{{\colorbox{yellow}{$1$}}} = \frac{{\colorbox{orange}{$x+1$}}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} $$
Umschreiben
$$ x = 0{,}5x + 0{,}5 $$
Nach $x$ auflösen
$$ 0{,}5x = 0{,}5 \qquad |\, \cdot 2 $$
$$ \Rightarrow x = 1 $$
Wenn auf beiden Seiten der Gleichung jeweils ein Bruch steht, kann eine Multiplikation über Kreuz sinnvoll sein.
Der Überbegriff für diese Art von Gleichungen ist Verhältnisgleichung.
$$ \frac{{\colorbox{yellow}{$1$}}}{{\colorbox{orange}{$x$}}} = \frac{{\colorbox{orange}{$2$}}}{{\colorbox{yellow}{$x+1$}}} $$
Multiplikation über Kreuz
$$ {\colorbox{yellow}{$1$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x+1$}} = {\colorbox{orange}{$2$}} \cdot {\colorbox{orange}{$x$}} $$
$$ x+1 = 2x \qquad |\, -x $$
$$ \Rightarrow x = 1 $$
