Bruchgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter Bruchgleichungen versteht.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Bruchrechnung
Definition
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm, in dem die Variable
Beispiele
Wenn die Variable
Bruchgleichungen lösen
Definitionsmenge bestimmen
Gleichung nach
Prüfen, ob der
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
zu 2)
Dabei helfen uns Äquivalenzumformungen.
zu 4)
Keine Lösung
Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung sei
Eine eindeutige Lösung
Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung sei
Unendlich viele Lösungen
Wenn wir beim Rechnen an einen Punkt kommen, wo auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Term steht, dann ist die Gleichung für alle
Löse die Bruchgleichung
Definitionsmenge bestimmen
Wann wird der Nenner des Bruchs gleich Null?
Für
Daraus folgt:
Die Definitionsmenge entspricht der Menge der reellen Zahlen ohne der Null.
Gleichung nach
Bruch beseitigen durch Multiplikation mit dem Nenner
Kürzen
Lineare Gleichung lösen
Prüfen, ob der
Da
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die Bruchgleichung
Definitionsmenge bestimmen
1. Nenner
2. Nenner
Definitionsmenge
Gleichung nach
Brüche auf eine Seite bringen
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Dazu multiplizieren wir den Zähler und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs bzw. den Zähler und den Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.
Wenn du diesen Schritt nicht verstanden hast, lies dir das Kapitel Brüche gleichnamig machen durch. Dort wird ausführlich erklärt, wie man Brüche auf einen Nenner bringt.
Weiter geht’s…
Mit dem Hauptnenner multiplizieren, um den Bruch zu beseitigen
Nach
Prüfen, ob der
Da
Lösungsmenge aufschreiben
In manchen Fällen können wir im 2. Schritt darauf verzichten, die Brüche gleichnamig zu machen.
Wenn die Zähler der Brüche nur aus Zahlen bestehen, kann eine Kehrwertbildung sinnvoll sein.
Wenn auf beiden Seiten der Gleichung jeweils ein Bruch steht, kann eine Multiplikation über Kreuz sinnvoll sein.
Der Überbegriff für diese Art von Gleichungen ist Verhältnisgleichung.
